Differentialrechnung

Dachstein1

Bsp. 7

Mit einer Panoramagondel, einem Eispalast und einer gläsernen Hängebrücke ist der Dachsteingletscher eines der imposantesten Ausflugsziele in der Steiermark.

Aufgabenstellung:

a.) Die Panoramagondel fährt von der Talstation Türlwand, die auf 1700 m Meereshöhe liegt, hinauf bis zum Hunerkogel. Die Abbildung zeigt eine Modellierung der Strecke, wobei die Talstation in den Punkt (0|0) gelegt wurde. Die Gondel fährt entlang der Strecke TH mit einer mittleren Geschwindigkeit von 43 km/h, wobei ihre Höhenzunahme 10 Kilometer pro Stunde beträgt.

Berechnen Sie den mittleren Steigungswinkel \(\alpha\) der Strecke TH!

\(\alpha =\) Punkte: 1


Die Fahrzeit der Gondel beträgt sechs Minuten. Bestimmen Sie die Koordinaten der Bergstation Hunerkogel in dem abgebildeten Modell in Meter! Geben Sie die Koordinaten in der Form (x,y) ein.

(x,y) = Punkte: 1


b.) Die gläserne Hängebrücke führt über eine Schlucht, die 400 m in die Tiefe geht. Sie ist etwa 1 m breit und 100 m lang. Um größtmögliche Sicherheit zu gewährleisten, ist sie mit hohen Geländern und einer Stahlkonstruktion ausgestattet, die ein Vielfaches des üblichen Gewichts tragen kann.

Die Funktion g beschreibt die Gewichtskraft (in Newton), welcher die Brücke pro Quadratmeter im Abstand x (in Meter) von einem Ende der Brücke standhalten kann.

Die Funktionsgleichung der Funktion lautet \(g(x)=-2000*e^(-0.5*\frac{(x-50)^2}{300})+9000\)

Im Winter fällt Schnee gleichmäßig auf die Brücke. Berechnen Sie, welcher maximalen Gewichtskraft des Schnees die Brücke standhalten kann!

g in N = Punkte: 1


c.) Im Eispalast auf dem Dachstein wurden Eisskulpturen von bekannten Sehenswürdigkeiten der Steiermark erstellt. Dass die Skulpturen auch im Sommer nicht schmelzen, liegt an der relativ konstanten Temperatur von -5oC in der Höhle, aber auch daran, dass zum Schmelzen von Eis vergleichsweise viel Energie benötigt wird. Um ein Kilogramm Eis von einer bestimmten Temperatur T auf die Schmelztemperatur von 0oC zu bringen, müssen zunächst pro Grad Celsius 2 Kilojoule (kJ) Energie zugeführt werden. Damit ein Kilogramm Eis bei 0oC zu Wasser schmilzt sind weitere 333,7 kJ nötig.

Die Dichte \(\rho\) eines Stoffes bezeichnet seine Masse pro Volumeneinheit und beträgt bei Eis rund 9180 kg/m3

Geben Sie eine Formel in Abhängigkeit des Volumens V (in m3) und der Temperaturveränderung \(\Delta\)T einer Eisskulptur an, mit der man die Energie E in kJ berechnen kann, um die Skulptur vollständig zu Wasser zu schmelzen! (für \(\Delta\)T schreibe deltaT)

E = Punkte: 1